在概率论与统计学中，泊松分布是一种常见的离散型概率分布，常用于描述在一定时间或空间内随机事件发生的次数。例如，一天内某路口的交通事故次数、一小时内电话客服接到的电话数量等都可以用泊松分布来建模。

泊松分布由一个参数λ（lambda）决定，这个参数通常表示单位时间或单位面积内事件发生的平均次数。当λ已知时，我们可以计算出该分布的期望值和方差，这对于理解数据的集中趋势和离散程度非常重要。

一、泊松分布的定义

设随机变量 $ X $ 服从参数为 $ \lambda $ 的泊松分布，记作 $ X \sim \text{Poisson}(\lambda) $，则其概率质量函数（PMF）为：

$$

P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots

$$

其中，$ e $ 是自然对数的底数（约等于2.71828），$ \lambda > 0 $ 是分布的参数，表示事件发生的平均频率。

二、泊松分布的期望

泊松分布的期望值（即数学期望）反映了该分布的中心位置，也即是事件在单位时间内平均发生的次数。

对于服从泊松分布的随机变量 $ X $，其期望值为：

$$

E(X) = \lambda

$$

这说明，泊松分布的期望与其参数 $ \lambda $ 完全一致。也就是说，如果已知某一事件在单位时间内的平均发生次数是 $ \lambda $，那么该事件的期望发生次数就是 $ \lambda $。

三、泊松分布的方差

方差是衡量随机变量取值与其期望之间偏离程度的指标。对于泊松分布而言，其方差同样等于参数 $ \lambda $。

即：

$$

\text{Var}(X) = \lambda

$$

这个性质是泊松分布的一个重要特征，意味着它的期望和方差相等。这一特性在实际应用中非常有用，尤其是在数据分析过程中，可以通过观察数据的均值和方差是否接近来判断是否适合用泊松分布进行建模。

四、总结

泊松分布的期望和方差都是由参数 $ \lambda $ 决定的，且两者相等，均为：

- 期望： $ E(X) = \lambda $

- 方差： $ \text{Var}(X) = \lambda $

这一特性使得泊松分布在建模稀有事件、排队系统、放射性衰变等领域中具有广泛的应用价值。

结语：

了解泊松分布的期望和方差不仅有助于我们更好地理解该分布的统计特性，还能在实际问题中提供重要的理论支持。无论是进行数据建模还是进行统计推断，掌握这些基本概念都是非常必要的。