【求导公式介绍】在微积分的学习中，求导是理解函数变化率的重要工具。掌握常见的求导公式对于数学、物理、工程等领域的学习和应用具有重要意义。以下是对常见函数的求导公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本求导公式
1. 常数函数
若 $ f(x) = C $（C 为常数），则：
$$
f'(x) = 0
$$
2. 幂函数
若 $ f(x) = x^n $（n 为实数），则：
$$
f'(x) = n \cdot x^{n-1}
$$
3. 指数函数
若 $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1），则：
$$
f'(x) = a^x \ln a
$$
特别地，当 $ a = e $ 时，$ f'(x) = e^x $
4. 对数函数
若 $ f(x) = \log_a x $，则：
$$
f'(x) = \frac{1}{x \ln a}
$$
当 $ a = e $ 时，$ f'(x) = \frac{1}{x} $
5. 三角函数
- $ f(x) = \sin x $，则 $ f'(x) = \cos x $
- $ f(x) = \cos x $，则 $ f'(x) = -\sin x $
- $ f(x) = \tan x $，则 $ f'(x) = \sec^2 x $
- $ f(x) = \cot x $，则 $ f'(x) = -\csc^2 x $
- $ f(x) = \sec x $，则 $ f'(x) = \sec x \tan x $
- $ f(x) = \csc x $，则 $ f'(x) = -\csc x \cot x $
6. 反三角函数
- $ f(x) = \arcsin x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ f(x) = \arccos x $，则 $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ f(x) = \arctan x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $
二、求导法则
除了基本函数的导数外，还需掌握一些常用的求导法则：
| 法则名称 | 公式 | 说明 |
| 和差法则 | $ (f \pm g)' = f' \pm g' $ | 函数和或差的导数等于各自导数的和或差 |
| 积法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ | 两个函数乘积的导数 |
| 商法则 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $ | 两个函数商的导数 |
| 链式法则 | $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数 |
三、常见函数的导数表
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $ | $ 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
通过以上内容的整理，可以系统地掌握常见函数的导数计算方法，为后续的微积分学习打下坚实基础。建议结合实际例题进行练习，以加深理解和记忆。
