在数学分析中，泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的重要工具。它能够帮助我们以一种简单的方式表示复杂函数，并且在近似计算和误差估计中有着广泛的应用。本文将介绍几个常用的函数及其泰勒展开式。

首先，让我们来看一下指数函数 \( e^x \) 的泰勒展开式：

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \]

这个公式对于任意实数 \( x \) 都成立，而且收敛得非常快。因此，在实际应用中，我们可以只取前几项来获得一个很好的近似值。

接下来是正弦函数 \( \sin(x) \)，它的泰勒展开如下：

\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]

该级数同样对所有实数 \( x \) 收敛。通过截断这一级数，我们可以得到 \( \sin(x) \) 在某个区间内的良好近似。

再来看看余弦函数 \( \cos(x) \)，其泰勒展开为：

\[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \]

与正弦函数类似，这个级数也适用于所有实数 \( x \)，并且具有良好的收敛性。

最后，我们考虑自然对数函数 \( \ln(1+x) \)（当 \( |x|<1 \) 时）的泰勒展开：

\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \]

需要注意的是，这个展开仅在 \( |x|<1 \) 的范围内有效。

以上就是一些常见函数的泰勒展开式。这些公式不仅理论意义重大，而且在工程学、物理学等领域也有着重要的实际用途。掌握它们有助于更好地理解和解决各种问题。