【复数的平方怎么算】在数学中，复数是由实部和虚部组成的数，形式为 $ a + bi $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。计算复数的平方是常见的运算，掌握这一方法有助于进一步学习复数的乘法、除法以及极坐标表示等知识。
一、复数平方的基本方法
复数的平方指的是将一个复数与其自身相乘，即：
$$
(a + bi)^2 = (a + bi)(a + bi)
$$
根据乘法分配律，展开后得到：
$$
a^2 + abi + abi + (bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2i^2
$$
由于 $ i^2 = -1 $，所以可以简化为：
$$
a^2 + 2abi - b^2 = (a^2 - b^2) + 2abi
$$
因此，复数 $ a + bi $ 的平方结果为：
$$
(a + bi)^2 = (a^2 - b^2) + 2abi
$$
二、计算步骤总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 写出复数形式：$ a + bi $ |
| 2 | 展开乘法：$ (a + bi)(a + bi) $ |
| 3 | 展开后合并同类项：$ a^2 + 2abi + b^2i^2 $ |
| 4 | 用 $ i^2 = -1 $ 替换 $ b^2i^2 $，得到 $ a^2 - b^2 $ |
| 5 | 合并实部与虚部，得到最终结果：$ (a^2 - b^2) + 2abi $ |
三、实例演示
| 复数 | 计算过程 | 结果 |
| $ 1 + i $ | $ (1)^2 - (1)^2 + 2 \cdot 1 \cdot 1i = 0 + 2i $ | $ 2i $ |
| $ 2 + 3i $ | $ 2^2 - 3^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3i = 4 - 9 + 12i = -5 + 12i $ | $ -5 + 12i $ |
| $ -1 + 2i $ | $ (-1)^2 - (2)^2 + 2 \cdot (-1) \cdot 2i = 1 - 4 - 4i = -3 - 4i $ | $ -3 - 4i $ |
四、注意事项
- 实部和虚部都要参与平方运算；
- 注意符号的变化，尤其是 $ i^2 = -1 $；
- 若复数为纯虚数（如 $ 0 + bi $），则其平方为负实数；
- 若复数为纯实数（如 $ a + 0i $），则其平方为正实数。
通过以上方法和实例，可以清晰地理解如何计算复数的平方。掌握这一基础运算，有助于后续学习更复杂的复数运算和应用。
