在数学领域中，我们常常会遇到一元二次方程的问题。例如，已知关于变量 \( x \) 的一元二次方程 \( x^2 - 2mx + m^2 - m - 1 = 0 \)，它有两个实数根 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)。这类问题不仅考验了我们对代数公式的掌握程度，还涉及到了方程根的性质分析。

首先，根据一元二次方程的判别式公式 \( \Delta = b^2 - 4ac \)，我们可以判断该方程是否有两个实数根。对于给定的方程，系数分别为 \( a = 1 \), \( b = -2m \), \( c = m^2 - m - 1 \)。将其代入判别式计算得：

\[

\Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - m - 1)

\]

化简后得到：

\[

\Delta = 4m^2 - 4(m^2 - m - 1) = 4m^2 - 4m^2 + 4m + 4 = 4m + 4

\]

因此，当 \( \Delta \geq 0 \)，即 \( 4m + 4 \geq 0 \)，或等价于 \( m \geq -1 \) 时，该方程存在两个实数根。

接下来，利用韦达定理可以进一步研究这两个实数根的特性。根据韦达定理，对于方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其两根之和为 \( -b/a \)，两根之积为 \( c/a \)。在此基础上，我们得知：

\[

x_1 + x_2 = -\frac{-2m}{1} = 2m

\]

\[

x_1 \cdot x_2 = \frac{m^2 - m - 1}{1} = m^2 - m - 1

\]

通过以上分析可以看出，\( x_1 \) 和 \( x_2 \) 的具体值依赖于参数 \( m \) 的取值范围。同时，这些关系也为解决更复杂的问题提供了基础。

总之，在处理此类数学问题时，理解基本概念并灵活运用相关理论至关重要。通过对判别式的计算以及韦达定理的应用，我们能够深入探索一元二次方程的解的性质，并找到满足条件的具体解。

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