在物理学中，电磁感应现象是电与磁之间相互转化的重要表现形式之一。当穿过闭合回路的磁通量发生变化时，回路中会产生电动势，这一现象被称为电磁感应。而要理解这一过程的本质，就需要深入探讨电磁感应瞬时电动势的数学表达及其推导。

首先，我们引入法拉第电磁感应定律，它是描述电磁感应现象的基本规律。根据该定律，闭合电路中的感应电动势大小与磁通量的变化率成正比。用公式表示为：

\[ \mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t} \]

其中，\(\mathcal{E}\) 表示感应电动势，\(\Phi_B\) 是磁通量，\(t\) 代表时间。负号表示感应电动势的方向总是试图抵抗引起它的磁通量变化（楞次定律）。

为了进一步明确这个公式的物理意义，我们需要了解磁通量的具体定义。磁通量 \(\Phi_B\) 可以看作是磁场通过某一面积的总磁力线数量，其计算公式为：

\[ \Phi_B = \int_S \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{A} \]

这里，\(\vec{B}\) 是磁场强度矢量，\(\mathrm{d}\vec{A}\) 是面积元矢量，积分符号表明需要对整个曲面进行积分操作。

接下来，我们将上述两个公式结合起来考虑。假设有一个简单的平面线圈，其面积为 \(A\)，且位于一个均匀磁场中。如果线圈绕垂直于磁场方向的轴旋转，则穿过线圈的磁通量会随时间变化。设磁场强度 \(B\) 随时间的变化率为 \(\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\)，那么磁通量的变化率可以写成：

\[ \frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t} = A \cos\theta \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t} + B \sin\theta \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} \]

其中，\(\theta\) 是磁场方向与线圈法线之间的夹角。由于通常情况下线圈的面积 \(A\) 是固定的，因此第二项可以忽略不计。最终得到的感应电动势公式简化为：

\[ \mathcal{E} = -A \cos\theta \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t} \]

这个结果表明，感应电动势不仅取决于磁场的变化率，还受到线圈位置的影响——具体来说，它依赖于磁场方向和线圈法线之间的夹角。

通过以上分析可以看出，电磁感应瞬时电动势的推导涉及多个物理概念和数学工具的应用。从基本原理出发，结合实际场景进行详细推导，有助于加深我们对这一自然现象的理解，并为相关技术应用提供理论支持。