在中学阶段，数学竞赛无疑是一个激发学生学习兴趣和培养逻辑思维能力的重要平台。其中，“希望杯”数学竞赛作为一项全国性的赛事，吸引了无数优秀的学生参与其中。今天，我们就来探讨一下八年级学生可能会遇到的一些典型题目。

首先，让我们来看一道关于代数的问题：

问题1：已知x + y = 5，且xy = 6，请问x² + y²等于多少？

解答这个问题的关键在于利用平方公式。我们知道(x + y)² = x² + 2xy + y²。将已知条件代入后，我们得到25 = x² + 26 + y²。因此，x² + y² = 25 - 12 = 13。

接下来是一道几何题：

问题2：一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，求斜边长度。

根据勾股定理，a² + b² = c²，其中a和b是直角边长，c是斜边长。所以，3² + 4² = c²，即9 + 16 = c²。计算得出c = √25 = 5厘米。

再来看一道概率题：

问题3：从一副扑克牌中随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是多少？

一副标准扑克牌有52张，其中有13张红桃。因此，抽到红桃的概率为13/52，简化后得到1/4。

最后，我们来解决一个问题涉及分数运算：

问题4：计算 (3/4) ÷ (1/8)。

分数除法可以通过乘以倒数来完成。所以，(3/4) ÷ (1/8) = (3/4) × (8/1) = 24/4 = 6。

通过以上几个例子可以看出，“希望杯”数学竞赛不仅考察了学生的基础知识掌握情况，还注重考查他们的解题技巧和灵活运用能力。对于八年级的学生来说，积极参与此类活动不仅能提升自己的数学水平，还能增强自信心，为未来的学业之路打下坚实的基础。希望每位参赛者都能在比赛中取得好成绩！