在高等数学中，齐次线性方程组是一个重要的研究对象，其形式通常为：
\[
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0
\end{cases}
\]
其中，系数矩阵 \(A = [a_{ij}]_{m\times n}\)，且右端常数项全为零。当齐次线性方程组存在非零解时，意味着至少有一个未知量不为零。
例题解析
考虑以下齐次线性方程组：
\[
\begin{cases}
x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\
2x_1 - 4x_2 + 2x_3 = 0 \\
x_1 + x_2 - x_3 = 0
\end{cases}
\]
首先，将上述方程组写成矩阵形式：
\[
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 1 \\
2 & -4 & 2 \\
1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\]
接下来，对增广矩阵进行初等行变换，化简为行最简形矩阵：
\[
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 1 \\
2 & -4 & 2 \\
1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 3 & -2
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 1 \\
0 & 1 & -\frac{2}{3} \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\]
进一步化简得到：
\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -\frac{1}{3} \\
0 & 1 & -\frac{2}{3} \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\]
从简化后的矩阵可以看出，第三个变量 \(x_3\) 可以自由取值，设 \(x_3 = t\)（\(t\) 为任意实数）。则：
\[
\begin{cases}
x_1 = \frac{1}{3}t \\
x_2 = \frac{2}{3}t \\
x_3 = t
\end{cases}
\]
因此，齐次线性方程组的通解为：
\[
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
=
t
\begin{bmatrix}
\frac{1}{3} \\
\frac{2}{3} \\
1
\end{bmatrix},
\quad t \in \mathbb{R}
\]
由此可见，该齐次线性方程组存在非零解，其解集为一个一维向量空间。
总结
通过上述例题可以看出，判断齐次线性方程组是否有非零解的关键在于分析其系数矩阵的秩。若系数矩阵的秩小于未知量的个数，则方程组必然存在非零解。本例中，通过行变换化简后发现矩阵的秩为 2，而未知量的个数为 3，因此存在非零解。这种分析方法不仅适用于具体的数值问题，还可以推广到更复杂的理论问题中。
