【求导基本公式】在微积分的学习中，求导是理解函数变化率的重要工具。掌握常见的求导基本公式，不仅有助于解题，还能提高对函数性质的理解。以下是对常见求导公式的总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本求导公式总结
1. 常数函数的导数
若 $ f(x) = C $（C为常数），则 $ f'(x) = 0 $
2. 幂函数的导数
若 $ f(x) = x^n $，其中 $ n \in \mathbb{R} $，则 $ f'(x) = nx^{n-1} $
3. 指数函数的导数
- $ f(x) = a^x $，则 $ f'(x) = a^x \ln a $
- $ f(x) = e^x $，则 $ f'(x) = e^x $
4. 对数函数的导数
- $ f(x) = \log_a x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $
- $ f(x) = \ln x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{x} $
5. 三角函数的导数
- $ f(x) = \sin x $，则 $ f'(x) = \cos x $
- $ f(x) = \cos x $，则 $ f'(x) = -\sin x $
- $ f(x) = \tan x $，则 $ f'(x) = \sec^2 x $
- $ f(x) = \cot x $，则 $ f'(x) = -\csc^2 x $
6. 反三角函数的导数
- $ f(x) = \arcsin x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ f(x) = \arccos x $，则 $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ f(x) = \arctan x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $
7. 复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(g(x)) $，则 $ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $
8. 乘积法则
若 $ y = u(x)v(x) $，则 $ y' = u'v + uv' $
9. 商法则
若 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，则 $ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
二、常见函数导数表
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $ | $ 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
三、小结
掌握这些基本的求导公式是学习微积分的基础。通过不断练习，可以更熟练地应用这些规则来解决实际问题。同时，理解导数的几何意义（如切线斜率）和物理意义（如速度、加速度）也有助于加深对知识的掌握。建议在学习过程中结合例题进行练习，逐步提升自己的数学思维能力。
