【函数极限的重要公式】在数学分析中，函数极限是研究函数变化趋势的基础工具。掌握一些重要的函数极限公式，不仅有助于理解函数的局部行为，还能为后续的微分和积分打下坚实基础。以下是对常见函数极限公式的总结，并通过表格形式进行归纳。
一、基本极限公式
1. 常数函数的极限
若 $ f(x) = C $（C 为常数），则
$$
\lim_{x \to a} f(x) = C
$$
2. 多项式函数的极限
对于多项式 $ f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 $，有
$$
\lim_{x \to a} f(x) = f(a)
$$
3. 有理函数的极限
若 $ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $，其中 $ P(x) $ 和 $ Q(x) $ 是多项式，则
$$
\lim_{x \to a} f(x) = \frac{P(a)}{Q(a)} \quad (Q(a) \neq 0)
$$
4. 指数函数的极限
$$
\lim_{x \to 0} e^x = 1, \quad \lim_{x \to \infty} e^x = \infty, \quad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0
$$
5. 对数函数的极限
$$
\lim_{x \to 1} \ln x = 0, \quad \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty
$$
二、重要极限公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 1 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数极限的基本形式 |
| 2 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的导数基础 |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ | 对数函数的导数基础 |
| 4 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 与三角函数相关的极限 |
| 5 | $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^k - 1}{x} = k$ | 用于幂函数的近似计算 |
| 6 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 数学中著名的自然对数底数定义 |
三、极限的运算性质
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 加法 | $\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$ | 极限可拆分为加法 |
| 乘法 | $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$ | 极限可拆分为乘法 |
| 商法 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$（若分母不为0） | 分子分母分别求极限 |
| 复合函数 | $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to a} g(x)\right)$ | 在连续函数下成立 |
四、总结
函数极限是数学分析的核心内容之一，掌握其基本公式和运算性质，有助于更深入地理解函数的变化规律。上述表格涵盖了常见的函数极限公式及其应用范围，适用于初学者或复习者参考使用。在实际应用中，还需结合具体问题灵活运用这些公式，并注意极限存在的条件。
