在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。当我们处理两个可导函数的商时，需要使用导数的除法规则来计算其导数。本文将详细推导这一法则。

假设我们有两个可导函数u(x)和v(x)，并且v(x)不等于零。那么它们的商f(x) = u(x)/v(x)也是一个可导函数。我们需要证明导数的除法规则是：

\[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \]

推导过程

根据定义，函数f(x)的导数为：

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

将f(x) = u(x)/v(x)代入，得到：

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h} \]

为了简化这个表达式，我们将分子中的两个分数通分：

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x) - u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x+h) \cdot v(x)} \]

接下来，我们将分子拆分为两部分：

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{u(x+h)v(x) - u(x)v(x)}{h \cdot v(x+h) \cdot v(x)} - \frac{u(x)v(x+h) - u(x)v(x)}{h \cdot v(x+h) \cdot v(x)} \right) \]

对每一部分分别求极限。对于第一部分，注意到u(x+h)v(x) - u(x)v(x)可以写成：

\[ u(x+h)v(x) - u(x)v(x) = [u(x+h) - u(x)]v(x) \]

因此，第一部分的极限为：

\[ \lim_{h \to 0} \frac{[u(x+h) - u(x)]v(x)}{h \cdot v(x+h) \cdot v(x)} = \frac{u'(x)v(x)}{[v(x)]^2} \]

类似地，对于第二部分，注意到u(x)v(x+h) - u(x)v(x)可以写成：

\[ u(x)v(x+h) - u(x)v(x) = u(x)[v(x+h) - v(x)] \]

因此，第二部分的极限为：

\[ \lim_{h \to 0} \frac{u(x)[v(x+h) - v(x)]}{h \cdot v(x+h) \cdot v(x)} = \frac{-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \]

将两部分结果相加，得到最终的导数公式：

\[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \]

结论

通过上述推导，我们成功证明了导数的除法规则。这一规则在解决复杂函数的导数问题时非常有用，特别是在处理涉及商的函数时。掌握这一法则不仅有助于深入理解微积分的基本原理，还能提高解决实际问题的能力。

希望本文的推导过程能够帮助读者更好地理解和应用导数的除法规则。