在概率论与数理统计中，泊松分布是一种常用的离散型概率分布，常用于描述单位时间内随机事件发生的次数。例如，在一定时间范围内电话呼叫的数量、某地区交通事故的发生次数等都可以用泊松分布来建模。

泊松分布的核心参数是λ（lambda），它表示单位时间或单位面积内事件发生的平均次数。当已知λ的值时，我们可以直接计算出该分布的期望和方差，并进一步求解特定事件的概率。

首先，泊松分布的期望值E(X)等于其参数λ，即：

E(X) = λ

同样，泊松分布的方差Var(X)也等于λ，即：

Var(X) = λ

这表明，泊松分布的期望和方差具有相同的数值，这是其重要的数学特性之一。

接下来，如果我们知道λ的值，如何计算P(X = k)，即事件恰好发生k次的概率呢？泊松分布的概率质量函数（PMF）为：

P(X = k) = (e^(-λ) λ^k) / k!

其中，k为非负整数（k = 0, 1, 2, ...），e是自然对数的底（约等于2.71828）。

举个例子，假设某超市平均每小时有5位顾客光临，那么λ=5。如果想知道一小时内恰好有3位顾客来的概率，代入公式可得：

P(X = 3) = (e^(-5) 5^3) / 3! ≈ (0.0067 125) / 6 ≈ 0.1404

因此，该事件发生的概率约为14.04%。

需要注意的是，泊松分布适用于独立事件且发生概率较低的情况。当事件发生频率较高或样本量较大时，可能需要考虑其他分布模型，如正态分布或二项分布。

总结来说，泊松分布的期望和方差均为λ，而概率计算则依赖于其概率质量函数。通过掌握这些基本概念和公式，可以更好地理解和应用泊松分布在实际问题中的价值。