【均值不等式公式是哪四个】在数学中，均值不等式是一类重要的不等式，广泛应用于代数、分析、优化等领域。常见的均值不等式有四个，分别是算术平均-几何平均不等式（AM-GM）、调和平均-几何平均不等式（HM-GM）、平方平均-几何平均不等式（QM-GM）以及加权均值不等式。下面将对这四个均值不等式进行简要总结，并以表格形式展示它们的基本内容。
一、均值不等式简介
均值不等式主要描述了不同类型的平均数之间的关系。一般来说，对于正实数 $ a_1, a_2, \dots, a_n $，以下四种不等式是最为常见和重要的：
1. 算术平均 - 几何平均不等式（AM-GM）
2. 调和平均 - 几何平均不等式（HM-GM）
3. 平方平均 - 几何平均不等式（QM-GM）
4. 加权均值不等式
这些不等式在数学竞赛、工程计算、经济学模型中都有广泛应用。
二、均值不等式总结与表格
| 不等式名称 | 表达式 | 说明 |
| 算术平均 - 几何平均不等式 (AM-GM) | $ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} $ | 当且仅当 $ a_1 = a_2 = \cdots = a_n $ 时取等号，适用于正实数 |
| 调和平均 - 几何平均不等式 (HM-GM) | $ \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}} \leq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} $ | 适用于正实数，调和平均小于等于几何平均 |
| 平方平均 - 几何平均不等式 (QM-GM) | $ \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} $ | 平方平均大于等于几何平均，适用于正实数 |
| 加权均值不等式 | $ \frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n} \geq \prod_{i=1}^{n} a_i^{w_i/(w_1 + w_2 + \cdots + w_n)} $ | 其中 $ w_i > 0 $，适用于加权平均与加权几何平均的关系 |
三、总结
均值不等式是数学中非常基础且实用的工具，尤其在处理极值问题、优化问题时具有重要意义。上述四种不等式分别从不同的角度描述了平均数之间的关系，理解并掌握它们有助于提升数学思维能力和解题技巧。
通过合理应用这些不等式，可以简化复杂问题，提高运算效率，是学习数学不可或缺的一部分。
