【求导公式大全高等数学】在高等数学中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的求导公式对于解题和深入理解微积分具有重要意义。本文将对常用的求导公式进行总结，并以表格形式清晰展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数公式 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（$ n \in \mathbb{R} $） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、导数的四则运算法则
| 运算类型 | 公式 |
| 加法法则 | $ [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) $ |
| 减法法则 | $ [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) $ |
| 乘法法则 | $ [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 除法法则 | $ \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $（$ g(x) \neq 0 $） |
三、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
四、高阶导数
对于函数 $ y = f(x) $，其二阶导数为：
$$
f''(x) = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right)
$$
同理可得更高阶导数。
五、隐函数与参数方程的导数
1. 隐函数求导：若 $ F(x, y) = 0 $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}
$$
2. 参数方程求导：若 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad ( \frac{dx}{dt} \neq 0 )
$$
六、反函数的导数
若 $ y = f(x) $ 的反函数为 $ x = f^{-1}(y) $，则：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad ( \frac{dy}{dx} \neq 0 )
$$
总结
导数是高等数学中的核心内容之一，熟练掌握各类函数的求导方法，有助于解决实际问题和进一步学习微分方程、积分等内容。通过上述表格，可以系统地复习和应用各种求导公式，提高解题效率和准确性。
建议结合练习题反复巩固，加深对导数概念的理解与运用。
