【均值定理六个公式】在数学中，均值定理是一类重要的不等式工具，广泛应用于代数、几何、微积分等领域。它帮助我们理解数与数之间的关系，并在优化问题、证明题中发挥重要作用。以下是常见的六个均值定理公式，它们分别对应不同的平均方式，适用于不同的情境。
一、
1. 算术平均-几何平均不等式（AM-GM 不等式）
对于非负实数 $ a_1, a_2, \dots, a_n $，有：
$$
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}
$$
当且仅当所有数相等时取等号。
2. 几何平均-调和平均不等式（GM-HM 不等式）
对于正实数 $ a_1, a_2, \dots, a_n $，有：
$$
\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}
$$
当且仅当所有数相等时取等号。
3. 算术平均-调和平均不等式（AM-HM 不等式）
对于正实数 $ a_1, a_2, \dots, a_n $，有：
$$
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}
$$
当且仅当所有数相等时取等号。
4. 加权算术平均-加权几何平均不等式（Weighted AM-GM）
若 $ w_1, w_2, \dots, w_n $ 是正权重，满足 $ \sum_{i=1}^n w_i = 1 $，则对正实数 $ a_1, a_2, \dots, a_n $，有：
$$
\sum_{i=1}^n w_i a_i \geq \prod_{i=1}^n a_i^{w_i}
$$
当且仅当所有 $ a_i $ 相等时取等号。
5. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）
对于任意实数 $ a_1, a_2, \dots, a_n $ 和 $ b_1, b_2, \dots, b_n $，有：
$$
(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2
$$
当且仅当 $ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} $ 时取等号。
6. 幂平均不等式（Power Mean Inequality）
对于正实数 $ a_1, a_2, \dots, a_n $ 和实数 $ r > s $，有：
$$
\left( \frac{a_1^r + a_2^r + \cdots + a_n^r}{n} \right)^{1/r} \geq \left( \frac{a_1^s + a_2^s + \cdots + a_n^s}{n} \right)^{1/s}
$$
当且仅当所有 $ a_i $ 相等时取等号。
二、表格总结
| 序号 | 名称 | 公式表达式 | 条件 | 等号成立条件 |
| 1 | 算术平均-几何平均不等式 | $ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} $ | 非负实数 | 所有数相等 |
| 2 | 几何平均-调和平均不等式 | $ \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_n}} $ | 正实数 | 所有数相等 |
| 3 | 算术平均-调和平均不等式 | $ \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_n}} $ | 正实数 | 所有数相等 |
| 4 | 加权算术平均-几何平均不等式 | $ \sum_{i=1}^n w_i a_i \geq \prod_{i=1}^n a_i^{w_i} $ | 正实数，权重和为1 | 所有数相等 |
| 5 | 柯西-施瓦茨不等式 | $ (a_1^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + \cdots + a_nb_n)^2 $ | 实数 | 向量成比例 |
| 6 | 幂平均不等式 | $ \left( \frac{a_1^r + \cdots + a_n^r}{n} \right)^{1/r} \geq \left( \frac{a_1^s + \cdots + a_n^s}{n} \right)^{1/s} $ | 正实数，$ r > s $ | 所有数相等 |
通过掌握这六个均值定理，我们可以更灵活地处理各种数学问题，尤其是在优化、不等式证明和实际应用中具有重要意义。
