在数学和物理学中，向量的叉乘（也称为向量积或外积）是一种定义在三维空间中的二元运算。它产生一个新的向量，这个新向量垂直于原来的两个向量，并且其方向遵循右手定则。叉乘的结果不仅具有大小，还具有方向。

设我们有两个三维向量 \(\vec{A} = (A_x, A_y, A_z)\) 和 \(\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)\)，它们的叉乘可以表示为：

\[

\vec{A} \times \vec{B} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

A_x & A_y & A_z \\

B_x & B_y & B_z \\

\end{vmatrix}

\]

其中，\(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 分别是 x 轴、y 轴和 z 轴上的单位向量。这个行列式可以通过展开得到具体的分量表达式：

\[

\vec{A} \times \vec{B} = \left( A_yB_z - A_zB_y \right) \mathbf{i} - \left( A_xB_z - A_zB_x \right) \mathbf{j} + \left( A_xB_y - A_yB_x \right) \mathbf{k}

\]

换句话说，叉乘的结果向量 \(\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}\) 的各分量为：

- \(C_x = A_yB_z - A_zB_y\)

- \(C_y = A_zB_x - A_xB_z\)

- \(C_z = A_xB_y - A_yB_x\)

叉乘的一个重要特性是它的几何意义：叉乘的绝对值等于以 \(\vec{A}\) 和 \(\vec{B}\) 为邻边的平行四边形面积。此外，叉乘的方向由右手定则决定，即如果你将右手的四个手指从 \(\vec{A}\) 指向 \(\vec{B}\)，那么大拇指所指的方向就是叉乘结果的方向。

叉乘在物理中有许多应用，例如计算力矩、角动量以及电磁学中的洛伦兹力等。理解叉乘的概念对于学习高级物理学和工程学非常重要。通过掌握叉乘的定义及其性质，我们可以更好地分析和解决涉及三维空间的问题。